レアガチャが当たる確率

スマホゲームのレアガチャ、例えば1%の確率のガチャを100回引いたときに少なくとも1回以上引ける確率がいくらになるかという話です。結論から言うと大体63%くらいです。 これは0.1%の確率のガチャを1000回引いたに条件を変えてもあまり変わりません。とある値に収束していきます。

まず、1回以上当たるを考えるのは難しいので1回も当たらないを考えます。 当たる確率を \(\frac{1}{n}\) として \(n\) 回引いたとしましょう。

1回ガチャを引いて外れる確率は \(1 - \frac{1}{n}\) なので \(n\) 回とも外れる確率は \(\left(1 - \displaystyle\frac{1}{n}\right)^n\) です。

ここで少し計算してみましょう。

\[\begin{align*} \left(1 - \displaystyle\frac{1}{n}\right)^n &= \left(\displaystyle\frac{n-1}{n}\right)^n \\ &= \left(\displaystyle\frac{n-1}{(n-1) + 1}\right)^n \\ &= \left(\displaystyle\frac{(n-1) + 1}{(n-1)}\right)^{-n} \\ &= \left(1 + \displaystyle\frac{1}{n-1}\right)^{-(n-1)-1} \\ &= \left(1 + \displaystyle\frac{1}{N}\right)^{-N} \times \left(1 - \displaystyle\frac{1}{N}\right)^{-1} \quad (N=n-1) \end{align*}\]

\(\left(1 + \displaystyle\frac{1}{N}\right)^N\) は高校数学で学んだ自然対数の底 \(e ≒ 2.718\) に収束しますので、逆数の \(\left(1 + \displaystyle\frac{1}{N}\right)^{-N}\) は \(\frac{1}{e}\) に収束します。 また \(\left(1 - \displaystyle\frac{1}{N}\right)^{-1}\) は \(N\) を大きくすると\(1\) に収束します。

なのでn回とも外れる確率は \(\frac{1}{e}\) に収束します。

1回以上あたりを引く事象は1回も当たらない事象の余事象なので、1回以上あたりを引く確率は

\[\begin{align*} 1 - \frac{1}{e} &\fallingdotseq 1 - \frac{1}{2.713} \\ &\fallingdotseq 0.63 \\ \end{align*}\]

となり、だいたい63%になります。

\(e\)　への収束は結構早く10%の確率で10回でも、だいたい65％くらいです。

皆さんガチャを引くときは1%の確率を100回引いても確実には当たらず63%くらいしか当たらないという覚悟で引いてください。。

作成日:2022-03-23　 更新日:2022-03-23