レアガチャが当たる確率

スマホゲームのレアガチャ、例えば1%の確率のガチャを100回引いたときに少なくとも1回以上引ける確率がいくらになるかという話です。結論から言うと大体63%くらいです。 これは0.1%の確率のガチャを1000回引いたに条件を変えてもあまり変わりません。とある値に収束していきます。

まず、1回以上当たるを考えるのは難しいので1回も当たらないを考えます。 当たる確率を $\frac{1}{n}$ として $n$ 回引いたとしましょう。

1回ガチャを引いて外れる確率は $1-\frac{1}{n}$ なので $n$ 回とも外れる確率は ${(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$ です。

ここで少し計算してみましょう。

$$\begin{array}{rl}{(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n& ={\left({\displaystyle \frac{n-1}{n}}\right)}^n\\ & ={\left({\displaystyle \frac{n-1}{(n-1)+1}}\right)}^n\\ & ={\left({\displaystyle \frac{(n-1)+1}{(n-1)}}\right)}^{-n}\\ & ={(1+{\displaystyle \frac{1}{n-1}})}^{-(n-1)-1}\\ & ={(1+{\displaystyle \frac{1}{N}})}^{-N}\times {(1-{\displaystyle \frac{1}{N}})}^{-1}(N=n-1)\end{array}$$

${(1+{\displaystyle \frac{1}{N}})}^N$ は高校数学で学んだ自然対数の底 $e\fallingdotseq 2.718$ に収束しますので、逆数の ${(1+{\displaystyle \frac{1}{N}})}^{-N}$ は $\frac{1}{e}$ に収束します。 また ${(1-{\displaystyle \frac{1}{N}})}^{-1}$ は $N$ を大きくすると$1$ に収束します。

なのでn回とも外れる確率は $\frac{1}{e}$ に収束します。

1回以上あたりを引く事象は1回も当たらない事象の余事象なので、1回以上あたりを引く確率は

$$\begin{array}{rl}1-\frac{1}{e}& \fallingdotseq 1-\frac{1}{2.713}\\ & \fallingdotseq 0.63\end{array}$$

となり、だいたい63%になります。

$e$　への収束は結構早く10%の確率で10回でも、だいたい65％くらいです。

皆さんガチャを引くときは1%の確率を100回引いても確実には当たらず63%くらいしか当たらないという覚悟で引いてください。。

作成日:2022-03-23　 更新日:2022-03-23