足し算の定義
ペアノの足し算の定義を書いてみます。 と言いながら、markdownで数式を書く練習をしてたりｗ
目次
自然数での足し算の定義
以下の2つだけです。驚きですね。
\[\begin{align*} & n + 0 = n \quad (n \in \mathbb{ N }) ・・・①\\ & n + suc(m) = suc(n + m) \quad (n, m \in \mathbb{ N }) ・・・②\\ \end{align*}\]\(suc(n)\) は \(n\) の次の自然数という意味です。
高校だと自然数は \(0\) を含みませんでしたが、
なにやら \(0\) を自然数に入れる派が大学では多かったような。
本当は存在や唯一性とかあるんですが、
細かいことはおいおい。
具体例として \(1 + 1 = 2\) ですが
\[\begin{align*} 1 + 1 &= 1 + suc(0) \\ &= suc(1 + 0) \quad (\because ②) \\ &= suc(1) \quad (\because ①) \\ &= 2 \end{align*}\]という感じですべての自然数の足し算が再帰的に決まります。
また、自然数に \(0\) を含まない場合は以下のようになります。
\[\begin{align*} & n + 1 = suc(n) \quad (n \in \mathbb{ N }) \\ & n + suc(m) = suc(n + m) \quad (n, m \in \mathbb{ N }) \\ \end{align*}\]どちらかは、まーそんなに気にしなくてもいい気がする(*‘▽’)
自然数からの拡張
自然数 \(n\) に対して、足すと \(0\) になる数字を
\(-n\) とすることで、 整数 \(\mathbb{ Z }\) に拡張
掛け算は定義していないのでまたどこかで書きますが、
\(\frac{n}{m}\) を \(m\) をかけると \(n\) になる数字
として有理数 \(\mathbb{ Q }\) に拡張。
そして有理数をデデキントの切断で実数 \(\mathbb{ R }\) に拡張。
という感じで足し算を拡張していきます。
専門家からしたら、突っ込みどころ満載かもしれませんが、
大体こんなイメージかと思います。
作成日:2021-05-15 更新日:2021-06-02