兄弟は同値関係だけど友達は・・・

数学の同値関係について記載します。 早速定義から行ってみましょう。

同値関係の定義

集合$X$に定義された関係 $\sim$ が同値関係であるとは 任意の元 $a,b,c\in X$に対して、以下の3つの性質を持つ時を言います。

$$\begin{array}{rl}& a\sim a\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{反}\mathrm{射}\mathrm{律}\\ & a\sim b\Rightarrow b\sim a\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{対}\mathrm{称}\mathrm{律}\\ & a\sim b\mathrm{か}\mathrm{つ}b\sim c\Rightarrow a\sim c.\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{推}\mathrm{移}\mathrm{律}\end{array}$$

同値関係を兄弟で言い換え

定義だとわかりづらいので兄弟と言い換えると少しわかりやすいかも

AさんとAさんは兄弟(反射律)　うーんある意味そうかな。
AさんとBさんが兄弟なら、BさんとAさんは兄弟（対称律）そりゃそうだね。
AさんとBさんが兄弟で、BさんとCさんが兄弟なら、AさんとCさんも兄弟(推移律)　複雑な家庭でなければ。

これを友達とすると対象律と推移律は成り立ちません。

対称律
Aさんから見てBさんは友達でも、Bさんから見るとAさんは友達じゃない。 これは少し悲しい・・・

推移律
Aさんから見てBさんは友達でBさんとCさんは友達だけど、 AさんとCさんは友達じゃないかも。

友達の友達は他人の可能性ありますよね。

同値関係で何がしたいの？

この同値関係を使うことでグループ分けをできます。

同値関係の成り立つ兄弟の関係であれば、 兄弟というくくりで奇麗にグループ分けして、代表者を決められます。

逆に同値関係の成り立たない友達で分けると、 友達じゃない人が混ざってしまいますね。なかなかきれいには分けられませんｗ

数学の例だと、2で割ったあまりによるグルーピングとかです。

2で割った余りが0のグループ＝偶数と2で割った余りが1のグループ＝奇数で分けることができます。

modとかいうやつですね。

数学の群論とかいろいろなところで出てきます。
分数とかもこれを使って定義できたりもします。

2つの数字の同値関係を$(a,b)\sim (c,d)$を$ad-bc=0$として、 $(m,n)/\sim$とすることで、分数となります（割り算は同値関係で分類するという意味です。）

また機会があったら書いていきます。

作成日:2021-08-18　 更新日:2021-08-18